القائمة الرئيسية

الصفحات

الاخبار [slide]

ما الذي يجعل متطابقة أويلر بهذا الجمال؟



 تمثل متطابقة أويلر Euler’s Identity سحراً لعشاق الرياضيات في جمالها، حتى أنها تشير إلى تواصل غامض في الكون. إنها في كل مكان. أوصلهم الهوس بها ليبدو وكأن الكائنات الفضائية تحفرها في الأراضي الزراعية أو ما يعرف بدوائر المحاصيل crop circles لتوصل لنا رسائل معينة. 

ماهي قصة هذه المتطابقة الآن؟ هي معادلة رقمية بشكل أساسي، مرتبطة بتلك الثوابت الرياضية الصعبة الفهم كـ  π و e. كلاهما يعبر عن مقدار منهما عن مابعد فهمنا وتخيلنا، بشكل رقمي عشري، تسعى أرقامه بعد الفاصلة إلى اللانهاية. 

كلاهما منتشر في القوانين والمعادلات العلمية، لكنهما يأتيان من مكان مختلف: يحكم الرمز π أو ….3.14159 التناظر الكامل للدائرة، وهو في مجال الفضاء العامل الرئيسي في رياضيات الأمواج الضوئية. العدد النبري e أو …..2.71828 هو أساس التكبير الأسي أو النمو الأسي، وهو الطريق الأسرع الذي تسير وفقه عمليات مثل مضاعفة الربح، الانشطار النووي، قانون مور. يستخدم العدد النبري لنمذجة أي شيء ينمو رياضياً. 

هنا يأتي ليونارد أويلر، العالم العبقري السويسري الذي قدم لنا معادلة جديدة من نوع مختلف كلياً. 

عرض أويلر في كتابه مقدمة في تحليل اللانهائي Introduction to Analysis of the Infinite العلاقة القريبة بين كل من باي pi والعدد النيبري e، لكن طريقته كانت غريبة جداً. يرتبط المقداران في بعد عمودي على عالم الأشياء المادية – عالم يتم فيه القياس بواحدة يرمز لها بـ i وهي الجذر التربيعي للرقم 1- والذي لا يوجد بالطبع في العالم الحقيقي، ويطلق عليه العلماء عدداً تخيلياً.

فلنتخيل مخططاً بأعداد حقيقية على المحور الأفقي، في هذه الحالة تقع الأرقام التخيلية على المحور العمودي عليه. إذا تذكرنا التابع الأسي  f(x) = e^x فإن المخطط البياني له يماثل منحنياً يتجه نحو الأعلى وهو نموذج من نماذج التقدم. لكن إذا وضعنا i في المعادلة كما أوضح أويلر فإن المعادلة e^ix ترسم دائرة حول مركز الإحداثيات بدلاً من المنحني – وهي دائرة لا نهائية تعترض الواقع في النقطتين 1- و 1+. أما إذا ما أضفنا محوراً إضافياً للزمن فسنحصل على حلزون يمتد نحو المستقبل (الاتجاه الموجب على محور الزمن) ويرسم هذا الحلزون موجة جيبية متذبذبة.

ما تبقى يسهل فهمه. إذا أخذنا التابع  f(x) = e^ix وكانت القيم بالتعويض x = π فنحصل على النتيجة  e ^ (i pi) = -1. إذا أصلحنا المعادلة بطرفيها نحصل على التعبير الرياضي الشهير e ^ ( i pi ) + 1 = 0.

الصورة من Wired.com

الصورة من Wired.com

وهذا هو جوهر نظرية أويلر: بالمخاطرة بمحور الأرقام الحقيقية للدخول إلى هذا البعد السماوي (بعد الزمن)، أظهر لنا أويلر أن التغير الأسي المتخلخل (في المقدار النيبري) ينخفض مع تكرار الرمز باي. قد نظن أننا نتقدم في الزمن، لكن ومن منظور آخر فإننا ندور في حلقات فقط.

قد لا تبدو المعادلات الرياضية جميلة، لكن إذا نظرنا إلى النتائج السابقة: نجد أنها تجمع الأرقام الخمسة الأساسية في الرياضيات ( 0, 1, e, i و π) على الرغم من عدم ارتباطهما بشكل واضح ومثبت يبقى كلا الرمزين متشابهين إلى حد بعيد، فكلاهما يرمز لأرقام عشرية لانهائية.

يمكننا أن نمضي بالمقدارين أبعد من ذلك أيضاً. فإذا كتبنا التابع السابق بشكل أكثر عموماً كالشكلf(x) = e(zx) حيث z=(a+bi) فإننا لا نحصل على دائرة بل على حلزون لوغاريتمي يجمع بين الدوران والامتداد، ويمكننا أن نجد هذه الحلزونات في كل مكان في الطبيعة من قوقعة حيوان النوتيلوس البحري إلى الأذرع الدوارة للمجرات. كما أنهما يرتبطان بالنسبة الذهبية (وهي رقم عشري لا نهائي أيضاً  …..1.61803 وسلسلة فيبوناتشي أيضاً (…..0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89) والتي تصف توضع وترتيب البتلات والأوراق في النباتات بشكل جميل.

لكن الجزء الأغرب في صيغة أويلر – نظراً لاعتمادها على الأعداد التخيلية – هو أنها مفيدة للغاية في العالم الحقيقي. بترجمة أحد أنماط الحركة لآخر، تسمح للمهندسين بتحويل المسائل المثلثية إلى جبرية أكثر بساطة. لنشبه الأمر بثقب دودي بين فرعين مستقلين من الرياضيات. إنها الخدعة السحرية التي استخدمت في صيغة فورير Fourier لتحويل الموسيقى إلى شكل رقمي، كما أنها تحول كل الأشكال الموجية في الميكانيك الكمي، الإلكترونيات، ومعالجة الإشارات، ومن دونها لما وجدت الحواسيب.

نهاية الأمر؟ قد يكون الأمر منطقياً أن الكائنات الفضائية تحاول إخبارنا شيئاً ما! 

Dream-Team2

من Wired و Science4All

هل اعجبك الموضوع :

تعليقات